Online Ableitungsrechner mit Rechenweg - kostenlos!

Der Ableitungsrechner, den wir Ihnen hier zur Verfügung stellen, ist ein großartiges Werkzeug zur Lösung aller Arten von Derivaten und bietet detaillierte Schritt-für Schritt-Lösungen. Dies ist zweifellos der beste Rechner, der online abgeleitet werden kann. Zusätzlich zum ableitungsrechner erläutern wir auch alle grundlegenden Konzepte, die zum Erlernen der Ableitung von Funktionen erforderlich sind.

Online Ableitungsrechner


  • `d/dx(``)`

  • Ergebnis:



    wird bearbeitet


    • __


Anleitung zur Verwendung des Online AbleitungsRechner

Die Verwendung des Ableitungsrechners ist sehr einfach, geben Sie einfach die Funktion ein, die Sie ableiten wollen, und drücken dann die Schaltfläche „Lösen„.

Nachfolgend finden sie die Befehle und Operatoren, die Sie mit diesem abgeleiteten Rechner verwenden müssen.

ComandosDescripción
sin()Sinus
cos()Cosinus
tan()Tangente
cot()Kotangens
sec()Sekante
cosec()Kosekante
sinh()Hyperbolischer Sinus
cosh()Hyperbolischer Kosinus
tanh()Hyperbolische Tangente
coth()Hyperbolischer Kotangens
sech ()Hyperbolischer Sekante
csch()Hyperbolischer Cosecant
arcsin()Arkussinus
arccos()Arkuskosinus 
arctan()Arkustangens
arccot()Arkuskotangens
arcsec()Arkussekans
arccosec()Arkuskosekans
abs()Absoluter Wert
eEulersche Zahl
ln()Natürlicher Logarithmus
lg()Basis 10 Logarithmus
^Exponent
sqrt()Quadratwurzel

Dieser Ableitungsrechner arbeitet damitig mit Einzelvariablenfunktionen. Um den Ableitungsrechner verwenden zu können, müssen Sie die Funktionen mit der Variablen x eingeben.

Was ist Differentialrechnung?

Bei der Differentialrechnung wird untersucht, wie sich Funktionen ändern, wenn sich ihre Variablen ändern.

Was ist eine Ableitung?

Eine Ableitung gibt die Änderung des Funktionswertes an, d.h. die Steigung des Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle. Die Ableitung ist einer der grundpfeiler der mathematik.

Geometrische Interpretation der Ableitung

Geometrische Interpretation der Ableitung - Ableitungsrechner

Die Ableitung von `f(x)` in `x=x_{0}`ist die Steigung der Tangente an den graphen `f(x)`in dem punkt `P(f(x_{0}),x_{0})`. Die tangentenlinie ist die grenze der sekantenlinie der punkte `P(f(x_{0}),x_{0})`und `Q` auf dem diagramm von `f (x)` wenn `Q` wenn `P` nähert.

Wie auf dem bild zu sehen ist, berührt die tangente die kurve von `f(x)`  in dem punkt `P(f(x_{0}),x_{0})`; die steigung der tangentenlinie fällt mit der richtung der kurve an diesem punkt. Die tangente ist die gerade, die die kurve am besten an den punkt `P`heranführt. Angesichts eines diagramms unserer funktion ist es für uns nicht schwer, die tangentenlinie grafisch darzustellen.Wir wollen jedoch berechnungen mit der tangentenlinie durchführen.Daher benötigen wir eine rechnerische methode, um die tangente zu finden.

Wir wissen, dass die gleichung einer geraden mit steigung m am punkt `P(f(x_{0}),x_{0})` ist `y-y_{0}=m(x-x_{0})`, und diese Gleichung ist die abstrakte Form der Tangentengleichung. Wenn wir die spezifische Gleichung der Tangentengleichung finden wollen, dann müssen wir zuerst die Werte der Koordinate `(f(x_{0}),x_{0})`, und dafür müssen wir nur den wert von kennen `x_{0}`zu kennen und diesen in der Funktion zu ersetzen, die wir den Wert von `f(x_{0})`. Zweitens müssen wir den Wert der Steigung kennen, `m=f'(f(x_{0}))`, den wir sterben Ableitung der Funktion nennen.

Mit all diesen Informationen können wir die folgende Definition festlegen:

Die Ableitung von `f'(x_{0})` von `f` bei `x_{0}` ist die Steigung der Tangente der Kurve`y=f(t)`punkt `P(f(x_{0}),x_{0})`.

Wenn wir mit der geometrischen Interpretation der Ableitung fortfahren, wiseen wir, dass die Sekantenlinie eine Linie ist, die die Kurve der Funktion an zwei Punkten schneidet, wie man im vorherigen Bild sieht. Wenn der Trennungsabstand zwischen den Punkten klein genug istdann nähert sich der Wert der Steigung der Sekantenlinie dem Wert der Steigung der Kurve. Daher wenn wir die Steigung der Tangentenlinie mm finden wollen, die gleich dem Wert der Steigung der Kurve ist, können wir sie durch Annäherung finden, indem wir die Steigung der Sekantenlinie berechnen. Nehmen wir an, dass die `PQ`Linie die Sekantenlinie der Kurve `f(x)` ist.

Wir können die Steigung des Graphen in `P` finden, indem wir die Steigung von `PQ` berechnen als dass `Q` immer näher an `P` herankommt (und die Steigung von`PQ` immer näher an `m` herankommt).
Die Linie Tangente gleich der Grenze der
`PQ` Sekantenlinien ist, wie z.B. `Q → P`; wobei `P` fest bleibt und `Q` näher kommt.

Wir beginnen am `P(x_{0},f(x_{0}))`,  und bewegen uns dann eine kleine Strecke weiterhorizontal `Δx` und finden so den Punkt `Q(x_{0}+ Δx,f(x_{0}+ Δx))`. 

 

sekante

Diese beiden Punkte liegen auf einer Sekantenlinie des Graphen von `f (x)`. Der vertikale Unterschied zwischen P und Q ist `Δf = f(x_{0}+ Δx) – f(x_{0})`. Die Steigung des sekanten `PQ` ist durch das Verhältnis `(Δf)/(Δx)` gegeben. Zuvor haben wir festgestellt, dass die Tangentenlinie die Grenze der Sekantenlinie ist. Auch stimmt es , dass die Steigung der Tangentenlinie die Grenze der Steigungen der Sekantenlinie ist Mit anderen Worten:

Geometrische Interpretation der Ableitung 2b

Von hier aus können wir feststellen, was die Ableitung einer gegebenen Funktion in `x_{0}` ist:

Wenn wir das wissen, haben wir die allgemeine Formel der Ableitung einer Funktion wie folgt:


Ableitungsregeln

Ableitung einer Konstanten

f(x)=af(x)=0

Demonstration:

F(X)=limh0 0F(X+h)-F(X)h(3.3.4)=limh0do-doh=limh0 00h=limh0 00 0=0.

Faktorregel

f(x)=ku(x)f(x)=ku(x)

Potenzregel

f(x)=xnf(x)=nxn1

Demonstration der Produktregel:

f(x)=xn

f(x)=limh0(x+h)nxnh.

(x+h)n=xn+nxn1h+(n2)xn2h2+(n3)xn3h3++nxhn1+hn,

(x+h)nxn=nxn1h+(n2)xn2h2+(n3)xn3h3++nxhn1+hn.

(x+h)nxnh=nxn1h+(n2)xn2h2+(n3)xn3h3++nxhn1+hnh.

(x+h)nxnh=nxn1+(n2)xn2h+(n3)xn3h2++nxhn2+hn1.

f(x)=limh0(nxn1+(n2)xn2h+(n3)xn3h2++nxhn1+hn)

=nxn1.

Summenregel

f(x)=u(x)+v(x)f(x)=u(x)+v(x)

Demonstration der Summenregel​: 

j(x)=f(x)+g(x).

j(x)=limh0j(x+h)j(x)h.

j(x+h)=f(x+h)+g(x+h) and j(x)=f(x)+g(x),

j(x)=limh0(f(x+h)+g(x+h))(f(x)+g(x))h.

(3.3.23)j(x)=limh0(f(x+h)f(x)h+g(x+h)g(x)h).

j(x)=limh0(f(x+h)f(x)h)+limh0(g(x+h)g(x)h)=f(x)+g(x).

Produktregel

`p(x)=f(x)*g(x)`

`p'(x)=g(x)*f'(x)+f(x)*g'(x).`

Demonstration der Produktregel: 

(x)=f(x)g(x),

(3.3.35)j(x)=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h.

(3.3.36)j(x)=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)f(x)g(x)h.

(3.3.37)j(x)=limh0(f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)h)+limh0(f(x)g(x+h)f(x)g(x)h.

(3.3.38)j(x)=limh0(f(x+h)f(x)hg(x+h))+limh0(g(x+h)g(x)hf(x)).

(3.3.39)j(x)=f(x)g(x)+g(x)f(x).

Quotientenregel

`j(x)=f(x)/(g(x))`

(3.3.45)ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))g(x)ddx(g(x))f(x)(g(x))2.

(3.3.47)j(x)=f(x)g(x)g(x)f(x)(g(x))2.

Kettenregel

(u(v(x)))=u(v(x))v(x).